Das »Apfelmännchen« in JavaScript

Faszinierende Fraktalbilder im Browser erzeugt

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Die Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrot-Menge (wegen seiner charakteristischen Form auch "Apfelmännchen" genannt) ist in den 1980er Jahren weltweit sehr populär geworden, weil sie zeigt, welche enorme Formenvielfalt und auch Schönheit hinter einfachen, wiederholt ausgeführten mathematischen Operationen verborgen sein kann. Zoomt man nämlich in die Randbereiche der Mandelbrot-Menge hinein, so offenbaren sich einem Bilder von solcher Ästhetik und Farbenpracht, wie sie sich vermutlich kein Künstler ausdenken könnte – aber der größte Künstler ist ja sowieso die Natur selbst, deren universelle Beschreibungssprache die Mathematik ist. Die Formen und Strukturen entstehen alle rein mathematisch und ohne menschliches Zutun; lediglich die Farbpalette wird vorgegeben – für mich grenzt das fast schon an ein Wunder...

Die Mandelbrot-Menge wurde nach dem französischen Mathematiker Benoît B. Mandelbrot (1924-2010) benannt, der die fraktalen Strukturen in der Natur erforscht hat und versucht hat, diese mathematisch zu beschreiben. Überall in der Natur finden sich solche Strukturen und selbstähnlichen Formen wieder, etwa bei Wolken und Küstenlinien - oder auch bei den immer feiner werdenden Verästelungen von Pflanzen.

Ich selber bin gegen Ende der 1980er Jahre auf das Thema Fraktale gestoßen – wahrscheinlich hatte ich in irgend einer Computerzeitschrift etwas darüber gelesen und wollte diese tollen Bilder unbedingt auch auf den Bildschirm zaubern. Mit dem C64 war das damals allerdings eine äußerst zeitaufwendige Angelegenheit: Für ein Bild von gerade mal 320×200 Pixeln benötigte ein in BASIC geschriebenes Programm geschlagene 24 Stunden! Ein später in Assembler geschriebenes Programm namens "Turbo-Apfel" (nomen est omen!) erledigte dieselbe Aufgabe dann in sagenhaften 4-5 Stunden...

An diesem Poster aus 9 zusammengeklebten und mit einem 8-Nadel-Drucker bedruckten DIN-A4-Blättern hat der arme C64 mehrere Nächte lang gerechnet:



1992 in meinem damaligen Zimmer mit »Apfelmännchen«-Poster an der Wand
 

Mehr zur "Historie" meiner frühen Versuche mit Fraktalgrafiken auf dem C64 und später dem DOS-PC findet sich an dieser Stelle.

Der JavaScript-Fraktalgrafik-Generator

Irgendwann Anfang der 1990er Jahre habe ich das Thema Fraktalgrafik-Programmierung wieder aus den Augen verloren. Mitte März 2017 bekam ich dann beim Durchblättern meiner alten Aufzeichnungen Lust, wieder an meine damaligen Versuche anzuknüpfen und ein »Apfelmännchen«-Programm für den PC zu schreiben. Angefangen habe ich mit einem in C++ geschriebenen Programm, bin dann aber schnell zu JavaScript übergegangen, was auch den Vorteil hat, dass das Programm nicht erst umständlich compiliert oder auf dem Rechner installiert werden muss, sondern in jedem halbwegs modernen Web-Browser und zudem auch unter jedem gängigen Betriebssystem läuft. Anfangs hatte ich Zweifel, ob JavaScript dafür überhaupt schnell genug ist, aber ich war erstaunt, als das »Apfelmännchen« quasi "instantan" im Browser-Fenster erschien! Was damals auf dem C64 noch Stunden gedauert hat, geht selbst im Browser heute in Millisekunden (gut, bei sehr tiefen Zooms mit fünfstelligen Iterationszahlen und Kantenglättung durch Pixel-Interpolation etc. kann es dann auch schonmal einige Minuten dauern).

Gegenüber ähnlichen Programmen (siehe Links) weist mein JavaScript-Fraktalgrafik-Generator einige besondere Merkmale auf: Neben der standardmäßigen Zoom- und Ausschnittsvergrößerungs-Funktion gibt es auch eine History (ähnlich wie bei einem Web-Browser), Funktionen zum Verschieben des Ausschnitts sowie zum Speichern des erzeugten Bildes und zum Speichern und Laden der für die Bilderzeugung benutzten Parameter in einer Textdatei. Außerdem können Links erzeugt (und dann – wie das auf Neudeutsch so schön heißt – "geteilt") werden. Bei Aufruf eines solchen Links im Web-Browser wird der Fraktalgrafik-Generator dann mit den in der URL hinterlegten Fraktal- und Grafikparametern initialisiert und das Bild direkt im Browser gezeichnet.

Zum Starten des Fraktalgrafik-Generators einfach auf das folgende Bild klicken (es öffnet sich dann ein neues Browser-Fenster/-Tab):


Klicken zum Starten:

Bild oben: Die Konsole des JavaScript-Fraktalgrafik-Generators zur Eingabe der Parameter und zum Aufruf der Zeichen-Funktionen
 

Alle Erklärungen zur Bedienung (falls überhaupt erforderlich) befinden sich ebenfalls dort.

Hier einige mit dem JavaScript-Fraktalgrafik-Generator erzeugte Bilder. Durch Klick auf ein Vorschaubild öffnet sich der Fraktalgrafik-Generator in einem neuen Browser-Tab und zeichnet das Bild im Format 1200×900.

Solltest Du (der Leser dieser Seite) selbst ein schönes Bild im unendlich großen »Apfelmännchen-Universum« entdeckt haben, dann würde ich mich über einen entsprechenden Link freuen (hierzu einfach den Button "Link" im Generator anklicken und mir die URL mittels "Kopieren und Einfügen" per E-Mail schicken). Ich werde das Bild dann ggf. hier in die Galerie mit aufnehmen (und auf Wunsch Deinen Namen dazuschreiben und/oder Deine Webseite verlinken).

Das »Apfelmännchen« in der Gesamtansicht »Spirale« Dieselbe »Spirale« in Schwarzweiß-Darstellung
     
»Stern« »Baum« (erinnert das nicht an eine Birke?) »Gewitter«
     
»Miniapfel« »Tal der Seepferdchen« »Satellit«
     
»Julia in the Sky« (Julia-Menge) »Furry Julia Island« (lange Berechnungszeit!) »Feuerspinne« (lange Berechnungszeit!)
     
»Mandala« (Julia-Menge) »Blüte« »Julia 8« (Julia-Menge)
     
   
Maile mir Deinen Fraktalgrafik-Generator-Link!    

Den Julia-Mengen, jenen punktsymmetrischen Gebilden, die einem beim Erkunden der Mandelbrot-Menge immer wieder begegnen, habe ich einen eigenen Artikel gewidmet.

Weitere Bilder gibt es auf der Spielwiese, dem Tummelplatz für Experimente mit dem »Apfelmännchen«.

»Philosophisches«

Vorab ein schlau klingendes Zitat einer berühmten Persönlichkeit, um dem Folgenden mehr Bedeutung zu verleihen: ;-)

»Mathematik ist das Alphabet, mit dessen Hilfe Gott das Universum beschrieben hat.«
Mathematics is the language in which God has written the universe.«)

(Galileo Galilei)

Auch wenn es inzwischen viel beeindruckende Fraktale als die Mandelbrot-Menge gibt (z.B. die sogenannten Mandelbulbs), sind es doch weiterhin die ursprünglichen 2D-Fraktale der Mandelbrot-Menge, die mich am meisten faszinieren, weil bei ihnen am klarsten zum Ausdruck kommt, wie aus einer einfachen mathematischen Iteration die komplexesten Bilder entstehen können. Bei den moderneren Arten von Fraktalgrafiken ist mir schon zu viel "künstlich" dazugemacht, so dass der eigentliche "Künstler", die Mathematik – das dem Universum immanente Prinzip –, zu stark in den Hintergrund rückt. Bei der Mandelbrot-Menge ist es nicht der Mensch, der all diese Formen entwirft, sondern diese sind das automatische Ergebnis einer äußerst einfachen Berechnung (mehr über die genauen mathematischen Hintergründe auf der Seite Malen nach Zahlen). Lediglich die Farbgebung wird durch den Menschen bestimmt, da Zahlen nun mal keine Farbe haben; dies finde ich noch einen "legitimen" Eingriff, vergleichbar etwa mit Färbetechniken beim Mikroskopieren oder dem Kolorieren der beeindruckenden Aufnahmen des Hubble-Weltraumteleskops. Die zu sehenden Strukturen selbst sind dagegen vollkommen unverändert und unbeeinflusst von menschlichem Zutun.

Dass aus einer so einfachen und langweilig aussehenden Formel wie  Zn+1 = Zn² + C  solche organischen Formen entstehen können, die auf einen menschlichen Betrachter äußerst ästhetisch wirken können, erscheint mir als "mathematischem Laien" fast schon wie ein "Wunder", was mich auch schon früh zu der Frage nach einer möglichen tieferen Bedeutung mathematischer Prinzipien für »das Leben, das Universum und den ganzen Rest« geführt hat: Bereits bei meinen ersten Versuchen mit »Apfelmännchen«-Grafiken auf dem C64 um 1989 herum hatte ich entsprechende Überlegungen angestellt. Auch im englischsprachigen Fractal Forum gibt es einen Bereich für Fraktale Philosophie mit interessanten Themen hierzu, z.B. The fractal experience.

Wer weiß, vielleicht ist ja das gesamte Universum inklusive uns Menschen und allen Lebewesen darin ein einziges riesiges Fraktal... In der Mandelbrot-Menge sind es die Randbereiche zwischen divergierenden und konvergierenden Kräften, in denen sich die interessanten, chaotischen Strukturen befinden. Im Universum ist es der Bereich zwischen absoluter Leere und dichtester Masse (Schwarze Löcher), in denen die interessanten Strukturen mit Galaxien, Planetensystemen und biologischem Leben existieren. Wie beim mathematischen Fraktal wird die Struktur dieses "Zwischenbereiches" immer komplexer und feiner detailliert, je weiter man in die Tiefe geht. Alle Strukturen wiederholen sich (Selbstähnlichkeit) – von den Galaxien, die von Planetensystemen umkreist werden, über Sonnen, die von Planeten umkreist werden, bis hin zu Atomkernen, die von Elektronen "umwölkt" werden, und wahrscheinlich setzt sich das im subatomaren Bereich noch weiter fort. Ist also die Welt, die wir sehen, das "geordnete Chaos" im schmalen Grenzbreich zwischen zwei entgegengesetzten Kräften?

So wie bei der Mandelbrot-Menge alle zu sehenden Strukturen miteinander verbunden sind, könnte es auch im Universum sein: Alles ist miteinander verbunden und wechselwirkt miteinander. Dies scheint nicht nur auf Himmelskörper zuzutreffen, die sich z.B. durch die Gravitation gegenseitig beeinflussen, sondern tritt auch im subatomaren Bereich als sogenannte Quantenverschränkung auf. Selbst das Bewusstsein des Menschen ist nicht isoliert von dem anderer Menschen – und das sogar über Raum und Zeit hinweg: Es gibt Hinweise darauf, dass Bewusstsein unabhängig von einem biologischen Körper existiert und dass das Gehirn nur ein Filter/Umsetzer für ein "nichtlokales" Bewusstsein ist (siehe dazu bei YouTube den Vortrag Nichtlokales Bewusstsein des Kardiologen Pim van Lommel, der sich mit Nahtoderfahrungen reanimierter Patienten befasst).

Bei meiner Recherche nach Antworten auf die Frage, ob die im Computer generierten Fraktale (insbesondere die Randgebiete der Mandelbrot-Menge) nicht vielleicht mehr sein könnten als bloße mathematische Kuriositäten – ob dahinter nicht vielleicht ein universelles Prinzip steckt –, bin ich auch auf die Website von Gabi Müller gestoßen. Die Physikerin und ehemalige Heilpraktikerin hat eine Theorie entwickelt, nach der (sehr vereinfacht gesagt) alles Existierende aus fraktalen Wirbeln von Energie besteht. Als "Nichtphysiker" kann ich dieses Wirklichkeitsmodell hinsichtlich seiner Plausibilität zwar nicht beurteilen, aber es klingt auf jeden Fall ganz interessant und inspirierend.

Mit der zweidimensionalen Darstellung der Mandelbrot-Menge erhalten wir vielleicht nur einen winzigen Einblick in ein fundamentales Naturgesetz, das "hinter der Mathematik" steht...

Mit Google findet man jede Menge anderer Webseiten zu »Apfelmännchen«- bzw. Mandelbrot-Generatoren in JavaScript. Hier einige der interessanteren Seiten, die ich gefunden und kurz ausprobiert habe:

Fraktalgrafik-Generatoren in JavaScript

Theorie und Hintergrund zu Fraktalen

Hast oder kennst Du eine interessante Seite zu Fraktalen im Allgemeinen oder speziell zur Mandelbrot-Menge, die in dieser Aufstellung noch fehlt? Dann schreibe mir eine E-Mail!

Sitemap

Um bei der zunehmenden Anzahl von Seiten und JavaScript-Anwendungen (Scripts) in dieser Rubrik nicht den Überblick zu verlieren, folgt hier eine hierarchische Übersicht aller Seiten und Scripts zum Thema Fraktalgrafik:

(Stand: 16.05.2017)


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